Знакоопределённые формы и критерий Сильвестра

Квадратичную форму $q(x)$ называют **положительно определённой**, если $\forall{x \neq 0}\mathpunct{:}~~ q(x) > 0$ Аналогично можно дать определение для **отрицательно определённой** формы

Пусть $A$ - квадратная матрица. Тогда **главными минорами** называются миноры, стоящие в первых $k$ строках и столбцах. Простыми словами - миноры в левом верхнем углу.

Форма в каноническом виде $q(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{2}$ положительно определена $\iff$ $\forall{i}\mathpunct{:}~~ a_{i} > 0$

$\Large\implies$ От противного: пусть $\exists{j}\mathpunct{:}~~ a_{j} \leq 0$. Подставим $x = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)^{T}$ с $1$ на $j$-ом месте в $q(x)$. Тогда $q(x) = a_{j} \leq 0$, а значит форма не положительно определена, противоречие. $\Large\impliedby$ Очевидно $\square$

У матриц эквивалентных форм определители одного знака.

Пусть $f \sim g$, $f$ имеет матрицу $B$, $g$ - матрицу $C$, $T$ - матрица замены из $f$ в $g$, тогда: $$\det C = \det(T^{T}BT) = \det T^{T} \cdot \det B \cdot \det T = \det B \cdot (\det T)^{2}$$ а значит знаки $\det C$ и $\det B$ совпадают. $\square$

Квадратичная форма $q(x)$ положительно определена $\iff$ все главные миноры её матрицы строго положительны.

Для удобства обозначим главный минор порядка $k$ как $\Delta_k$ $\Large\implies$ Индукция по числу переменных $n$ **База индукции ($n=1$)** $q(x) = a_{11}x_1^2$, $q(x)$ положительно определена, тогда $a_{11} > 0$, а значит $\Delta_{1} = a_{11} > 0$ **Шаг индукции** Пусть утверждение верно для $n-1$ переменной и $q$ положительно определена на $\mathbb{R}^{n}$. Ясно, что ограничение $q|_{x_{n} = 0}$ тоже положительно определено. Но тогда по предположению индукции $\Delta_{1}, \dots, \Delta_{n-1} > 0$ Приведём $q$ к каноническому виду $q'$ невырожденной заменой: $q' = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}^{2}$ По наблюдению 1: $\forall{i}\mathpunct{:}~~ \lambda_{i} > 0$, а значит определитель матрицы $q'$ положительный. По наблюдению 2: Тогда и определитель матрицы $q$ тоже положительный, а значит $\Delta_{n} > 0$ $\Large\impliedby$ Индукция по числу переменных $n$ **База индукции ($n=1$)** $\Delta_{1} > 0 \implies a_{11} > 0 \implies$ $q(x) = a_{11}x_{1}^{2} > 0$ **Шаг индукции** Пусть утверждение верно для $n-1$ переменной и $\Delta_{1}, \dots, \Delta_{n} > 0$. Тогда: $$q(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{ij}x_{i}x_{j} = \underbrace{ \sum_{i=1}^{n-1} a_{ii}x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 1}a_{ii}x_{i}x_{j} }_{ \widetilde{q} } + a_{nn}x_{n}^{2} + 2 \sum_{i=1}^{n} a_{in}x_{i}x_{n}$$ Ясно, что $\widetilde{q}$ имеет миноры $\Delta_{1}, \dots, \Delta_{n-1} > 0$. Так как она от $n-1$ переменной, то по предположению индукции $\widetilde{q}$ положительно определена. Приведём к каноническому виду $g$ невырожденной заменой: $$\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{n-1} \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \dots \\ x_{n-1} \end{pmatrix}, \qquad y_{n} = x_{n}$$ Тогда: $$g(y) = \sum_{i=1}^{n-1} \gamma_{i}y_{i}^{2} - 2\sum_{i=1}^{n-1} \beta_{i}y_{i}y_{n} + a_{nn}y_{n}^{2} \qquad (\dagger)$$ Матрица формы $g$ имеет вид: $$[g] = \begin{pmatrix} \gamma_{1} & 0 & \dots & 0 & -\beta_{1} \\ 0 & \gamma_{2} & \dots & 0 & -\beta_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \gamma_{n-1} & -\beta_{n-1} \\ -\beta_{1} & -\beta_{2} & \dots & -\beta_{n-1} & a_{nn} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \gamma_{1} & 0 & \dots & 0 & -\beta_{1} \\ 0 & \gamma_{2} & \dots & 0 & -\beta_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \gamma_{n-1} & -\beta_{n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & d \end{pmatrix}$$ где $d = a_{nn} - \dfrac{\beta_{1}^{2}}{\gamma_{1}} - \dfrac{\beta_{2}^{2}}{\gamma_{2}} - \dots - \dfrac{\beta_{n-1}^{2}}{\gamma_{n-1}}$ (привели исходную матрицу к треугольному виду нехитрыми преобразованиями) Так как $\Delta_{n} > 0$, то $\det [g] > 0$, а значит $\det[g] = \gamma_{1}\gamma_{2}\dots \gamma_{n-1}d > 0$. По наблюдению 1 $\gamma_{i} > 0$, а значит $d > 0$ Выделяем полные квадраты: $$(\dagger) = \sum_{i=1}^{n-1} \gamma_{i} \left( y_{i} - \dfrac{\beta_{i}}{\gamma_{i}}y_{n} \right)^{2} + dy_{n}^{2}$$ Так как $\gamma_{i} > 0$ и $d > 0$, то $g$ - положительно определена. Так как $q$ и $g$ эквивалентны (невырожденная замена), то и $q$ положительно определена. $\square$